Stolz定理及其在求极限上的应用 |
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Stolz定理： ( 0 0 \frac{0}{0} 00型的Stolz定理)设 a n {a_n} an和 b n {b_n} bn都是无穷小量，其中 a n {a_n} an还是严格单调减少数列，又存在(其中 l l l为有限或 ± ∞ \pm \infty ±∞)lim n → ∞ b n + 1 − b n a n + 1 − a n = l \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=l n→∞liman+1−anbn+1−bn=l 则有 lim n → ∞ b n a n = l \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=l n→∞limanbn=l ( ∗ ∞ \frac{*}{\infty} ∞∗型的Stolz定理)设数列 a n {a_n} an是严格单调增大的无穷大量，又存在(其中 l l l为有限或 ± ∞ \pm \infty ±∞)lim n → ∞ b n + 1 − b n a n + 1 − a n = l \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=l n→∞liman+1−anbn+1−bn=l 则有 lim n → ∞ b n a n = l \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=l n→∞limanbn=l 例题： 设 lim n → ∞ ( x n − x n − 2 ) = 0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-x_{n-2}\right)=0 n→∞lim(xn−xn−2)=0,证明 lim n → ∞ x n n = 0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=0 n→∞limnxn=0 设 lim n → ∞ ( x n − x n − 2 ) = 0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(x_{n}-x_{n-2}\right)=0 n→∞lim(xn−xn−2)=0，证明 lim n → ∞ x n − x n − 1 n = 0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{n}=0 n→∞limnxn−xn−1=0 解答： 当 n n n为偶数时原极限 = lim n → + ∞ x n − x n − 2 + x n − 2 − x n − 4 + ⋯ + x 4 − x 2 n + x 2 n = 0 =\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n}-x_{n-2}+x_{n-2}-x_{n-4}+\cdots+x_{4}-x_{2}}{n}+\frac{x_{2}}{n}=0 =n→+∞limnxn−xn−2+xn−2−xn−4+⋯+x4−x2+nx2=0,当 n n n为奇数时同理可证（利用Stolz定理） 由上题结论可知 lim n → + ∞ x n − x n − 1 n = lim n → + ∞ x n n − lim n → + ∞ x n − 1 n = 0 \lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{n}=\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n}}{n}-\lim \limits_{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n-1}}{n}=0 n→+∞limnxn−xn−1=n→+∞limnxn−n→+∞limnxn−1=0 |
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